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快速排序平均時(shí)間復(fù)雜度（快速排序平均時(shí)間復(fù)雜度證明）

發(fā)布時(shí)間：2023-04-08 12:37:09 稿源：創(chuàng)意嶺閱讀： 101

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來(lái)大家介紹下關(guān)于快速排序平均時(shí)間復(fù)雜度的問(wèn)題，以下是小編對(duì)此問(wèn)題的歸納整理，讓我們一起來(lái)看看吧。

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本文目錄:

1、快速排序
2、關(guān)于快速排序和歸并排序的時(shí)間復(fù)雜度
3、請(qǐng)問(wèn)快速排序的時(shí)間復(fù)雜度是怎么推算的？
4、對(duì)于輸入為N個(gè)數(shù)進(jìn)行快速排序算法的平均時(shí)間復(fù)雜度是多少?

快速排序平均時(shí)間復(fù)雜度（快速排序平均時(shí)間復(fù)雜度證明）

一、快速排序

基本思想是：通過(guò)一趟排序?qū)⒁判虻臄?shù)據(jù)分割成獨(dú)立的兩部分，其中一部分的所有數(shù)據(jù)都比另外一部分的所有數(shù)據(jù)都要小，然后再按此方法對(duì)這兩部分?jǐn)?shù)據(jù)分別進(jìn)行快速排序，整個(gè)排序過(guò)程可以遞歸進(jìn)行，以此達(dá)到整個(gè)數(shù)據(jù)變成有序序列

快速排序算法通過(guò)多次比較和交換來(lái)實(shí)現(xiàn)排序，其排序流程如下：

(1)首先設(shè)定一個(gè)分界值，通過(guò)該分界值將數(shù)組分成左右兩部分。

(2)將大于或等于分界值的數(shù)據(jù)集中到數(shù)組右邊，小于分界值的數(shù)據(jù)集中到數(shù)組的左邊。此時(shí)，左邊部分中各元素都小于或等于分界值，而右邊部分中各元素都大于或等于分界值。

(3)然后，左邊和右邊的數(shù)據(jù)可以獨(dú)立排序。對(duì)于左側(cè)的數(shù)組數(shù)據(jù)，又可以取一個(gè)分界值，將該部分?jǐn)?shù)據(jù)分成左右兩部分，同樣在左邊放置較小值，右邊放置較大值。右側(cè)的數(shù)組數(shù)據(jù)也可以做類(lèi)似處理

(4)重復(fù)上述過(guò)程，可以看出，這是一個(gè)遞歸定義。通過(guò)遞歸將左側(cè)部分排好序后，再遞歸排好右側(cè)部分的順序。當(dāng)左、右兩個(gè)部分各數(shù)據(jù)排序完成后，整個(gè)數(shù)組的排序也就完成了。

下面通過(guò)一個(gè)例子介紹快速排序算法的思想，假設(shè)要對(duì)數(shù)組a[10]={6，1，2，7，9，3，4，5，10，8}進(jìn)行排序，首先要在數(shù)組中選擇一個(gè)數(shù)作為基準(zhǔn)值，這個(gè)數(shù)可以隨意選擇，在這里，我們選擇數(shù)組的第一個(gè)元素a[0]=6作為基準(zhǔn)值，接下來(lái)，我們需要把數(shù)組中小于6的數(shù)放在左邊，大于6的數(shù)放在右邊，怎么實(shí)現(xiàn)呢？

我們?cè)O(shè)置兩個(gè)“哨兵”，記為“哨兵i”和“哨兵j”，他們分別指向數(shù)組的第一個(gè)元素和最后一個(gè)元素，即i=0，j=9。首先哨兵j開(kāi)始出動(dòng)，哨兵j一步一步地向左挪動(dòng)（即j–），直到找到一個(gè)小于6的數(shù)停下來(lái)。接下來(lái)哨兵i再一步一步向右挪動(dòng)（即i++），直到找到一個(gè)數(shù)大于6的數(shù)停下來(lái)。

最后哨兵j停在了數(shù)字5面前，哨兵i停在了數(shù)字7面前。此時(shí)就需要交換i和j指向的元素的值。

交換之后的數(shù)組變?yōu)閍[10]={6，1，2，5，9，3，4，7，10，8}：

第一次交換至此結(jié)束。接下來(lái)，由于哨兵i和哨兵j還沒(méi)有相遇，于是哨兵j繼續(xù)向前，發(fā)現(xiàn)比6小的4之后停下；哨兵i繼續(xù)向前，發(fā)現(xiàn)比6大的9之后停下，兩者再進(jìn)行交換。交換之后的數(shù)組變?yōu)閍[10]={6，1，2，5，4，3，9，7，10，8}。

第二次交換至此結(jié)束。接下來(lái)，哨兵j繼續(xù)向前，發(fā)小比6小的3停下來(lái)；哨兵i繼續(xù)向前，發(fā)現(xiàn)i==j了?。?！于是，這一輪的探測(cè)就要結(jié)束了，此時(shí)交換a[i]與基準(zhǔn)的值，數(shù)組a就以6為分界線(xiàn)，分成了小于6和大于6的左右兩部分：a[10]={3，1，2，5，4，6，9，7，10，8}。

至此，第一輪快速排序完全結(jié)束，接下來(lái)，對(duì)于6左邊的半部分3，1，2，5，4，執(zhí)行以上過(guò)程；對(duì)于6右邊的半部分9，7，10，8，執(zhí)行以上過(guò)程，直到不可拆分出新的子序列為止。最終將會(huì)得到這樣的序列：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10，到此，排序完全結(jié)束。

快速排序的一次劃分算法從兩頭交替搜索，直到low和hight重合，因此其時(shí)間復(fù)雜度是O(n)；而整個(gè)快速排序算法的時(shí)間復(fù)雜度與劃分的趟數(shù)有關(guān)。

理想的情況是，每次劃分所選擇的中間數(shù)恰好將當(dāng)前序列幾乎等分，經(jīng)過(guò)log₂ n趟劃分，便可得到長(zhǎng)度為1的子表。這樣，整個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(nlog₂ n)。

最壞的情況是，每次所選的中間數(shù)是當(dāng)前序列中的最大或最小元素，這使得每次劃分所得的子表中一個(gè)為空表，另一子表的長(zhǎng)度為原表的長(zhǎng)度-1。這樣，長(zhǎng)度為n的數(shù)據(jù)表的快速排序需要經(jīng)過(guò)n趟劃分，使得整個(gè)排序算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n² )。

為改善最壞情況下的時(shí)間性能，可采用其他方法選取中間數(shù)。通常采用“三者值取中”方法，即比較H->r[low].key、H->r[high].key與H->r[(low+high)/2].key，取三者中關(guān)鍵字為中值的元素為中間數(shù)。

可以證明，快速排序的平均時(shí)間復(fù)雜度也是O(nlog₂ n)。因此，該排序方法被認(rèn)為是目前最好的一種內(nèi)部排序方法

二、關(guān)于快速排序和歸并排序的時(shí)間復(fù)雜度

首先你說(shuō)歸并排序最壞的情形為O(NlogN)，這是不正確的歸并排序如果不借助輔助空間的話(huà)，復(fù)雜度為O(n^2)，借助的話(huà)就是O(nlogn)(O(nlog2n))歸并排序平均復(fù)雜度是 O(nlogn) 比較快

快速排序快速排序的最壞情況基于每次劃分對(duì)主元的選擇?；镜目焖倥判蜻x取第一個(gè)元素作為主元。這樣在數(shù)組已經(jīng)有序的情況下，每次劃分將得到最壞的結(jié)果。一種比較常見(jiàn)的優(yōu)化方法是隨機(jī)化算法，即隨機(jī)選取一個(gè)元素作為主元。這種情況下雖然最壞情況仍然是O(n^2)，但最壞情況不再依賴(lài)于輸入數(shù)據(jù)，而是由于隨機(jī)函數(shù)取值不佳。實(shí)際上，隨機(jī)化快速排序得到理論最壞情況的可能性?xún)H為1/(2^n)。所以隨機(jī)化快速排序可以對(duì)于絕大多數(shù)輸入數(shù)據(jù)達(dá)到O(nlogn)的期望時(shí)間復(fù)雜度。一位前輩做出了一個(gè)精辟的總結(jié)：“隨機(jī)化快速排序可以滿(mǎn)足一個(gè)人一輩子的人品需求?！?/p>

隨機(jī)化快速排序的唯一缺點(diǎn)在于，一旦輸入數(shù)據(jù)中有很多的相同數(shù)據(jù)，隨機(jī)化的效果將直接減弱。對(duì)于極限情況，即對(duì)于n個(gè)相同的數(shù)排序，隨機(jī)化快速排序的時(shí)間復(fù)雜度將毫無(wú)疑問(wèn)的降低到O(n^2)。解決方法是用一種方法進(jìn)行掃描，使沒(méi)有交換的情況下主元保留在原位置。

綜合來(lái)說(shuō)快速排序速度最快，時(shí)間復(fù)雜度最小。希望對(duì)你有所幫助！

三、請(qǐng)問(wèn)快速排序的時(shí)間復(fù)雜度是怎么推算的？

每次分成兩段，那么分的次數(shù)就是logn了哦，每一次處理需要n次計(jì)算，那么時(shí)間復(fù)雜度就是nlogn了！

注意這是平均時(shí)間復(fù)雜度，因?yàn)槟惴值臅r(shí)候可能并不均勻！

根據(jù)平均情況來(lái)說(shuō)是O(nlogn),因?yàn)樵跀?shù)據(jù)分布等概率的情況下對(duì)于單個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)在logn次移動(dòng)后就會(huì)被放到正確的位置上了。

最壞是O(n^2).這種情況就是數(shù)組剛好的倒序，然后每次去中間元的時(shí)候都是取最大或者最小。

四、對(duì)于輸入為N個(gè)數(shù)進(jìn)行快速排序算法的平均時(shí)間復(fù)雜度是多少?

根據(jù)T(n) = T(ðn) + O(n) (0 < ð <1) 則有 T(n) = O(n)

因此關(guān)鍵問(wèn)題是怎樣解決劃分標(biāo)準(zhǔn)的問(wèn)題, 因此產(chǎn)生下列線(xiàn)性時(shí)間找中位數(shù)的算法:

將數(shù)組a有n個(gè)元素, 劃分成5個(gè)一組, 則共有[n/5]個(gè)元素, 對(duì)于每組用一般的排序找中位數(shù),需要25次, 則總共需要O(25*[n/5]) = O(n), 然后在這些中位數(shù)中遞歸找其中位數(shù)需要T(n/5)次,然后以找到的中位數(shù)x來(lái)作為劃分標(biāo)準(zhǔn)則顯然劃分時(shí)間為O(n), 再遞歸的劃分, 顯然最多有3n/4的元素小于或大于x, 則選擇中位數(shù)的總復(fù)雜度為:

T(n) = O(n) + T(n/5) + T(3n/4) 有T(n) = O(n)。

因此快速排序的復(fù)雜度為T(mén)(n) = 2T(n/2) + O(n) 有:T(n) = nlogn。

但最壞情況下復(fù)雜度為O(n^2)，出現(xiàn)此條件的情況是N個(gè)數(shù)原來(lái)就已經(jīng)按照規(guī)定要求排好序了。

以上就是關(guān)于快速排序平均時(shí)間復(fù)雜度相關(guān)問(wèn)題的回答。希望能幫到你，如有更多相關(guān)問(wèn)題，您也可以聯(lián)系我們的客服進(jìn)行咨詢(xún)，客服也會(huì)為您講解更多精彩的知識(shí)和內(nèi)容。