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數(shù)學樣本空間是什么（數(shù)學樣本空間的各種表示）

發(fā)布時間：2023-03-04 14:38:06 稿源：創(chuàng)意嶺閱讀： 162 問大家

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來大家介紹下關(guān)于數(shù)學樣本空間是什么的問題，以下是小編對此問題的歸納整理，讓我們一起來看看吧。

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本文目錄:

1、樣本空間最大的子集叫什么,最小的子集叫什么
2、數(shù)學中,總體、個體、樣本、樣本容量指的是什么
3、什么是樣本空間的劃分呢? 設(shè)ABC是樣本空間的一個劃分，且P（A）0.5；P（B）=0.7則P（C）=？
4、★物理中的空間、時空與數(shù)學中的空間具體區(qū)別都是什么？★

數(shù)學樣本空間是什么（數(shù)學樣本空間的各種表示）

一、樣本空間最大的子集叫什么,最小的子集叫什么

樣本空間最大的子集叫歐米伽（Ω），最小的子集叫空集（_）。

子集是一個數(shù)學概念，指某個集合中一部分的集合，亦稱部分集合。根據(jù)子集的定義，我們知道A_A。也就是說，任何一個集合是它本身的子集。

對于空集_，我們規(guī)定__A，即空集是任何集合的子集。

二、數(shù)學中,總體、個體、樣本、樣本容量指的是什么

通俗的說：總體：指的是你所要統(tǒng)計的目標的全體個體：指的是全體里的某一個樣本：從全體里提取一些單位,通過統(tǒng)計樣本來估計總體的特征樣本容量：就是你提取樣本的個數(shù)比如說：你想統(tǒng)計高三的男女比例,那么高三所有的...

三、什么是樣本空間的劃分呢? 設(shè)ABC是樣本空間的一個劃分，且P（A）0.5；P（B）=0.7則P（C）=？

樣本空間的劃分應該是劃分成互相不相交的部分，且其并集就是全部的樣本空間，你的數(shù)據(jù)可能有問題，應該是P(A)+P(B)+P(C)=1的

四、★物理中的空間、時空與數(shù)學中的空間具體區(qū)別都是什么？★

數(shù)學中的空間物理空間概念的延伸和抽象。如歐幾里得空間、雙曲空間、黎曼空間、各種函數(shù)空間和拓撲空間等等。它們反映了人們對空間結(jié)構(gòu)各種屬性認識的發(fā)展。

最早的數(shù)學空間概念是歐幾里得空間。它來源于對空間的直觀，反映了空間的平直性、均勻性、各向同性、包容性、位置關(guān)系（距離）、三維性，乃至無窮延伸性、無限可分性、連續(xù)性等方面的初步認識。但在很長時期里，人們對空間的理解只局限于歐幾里得幾何學的范圍，認為它與時間無關(guān)。19世紀20年代，非歐幾何的出現(xiàn)突破了歐幾里得空間是唯一數(shù)學空間的傳統(tǒng)觀念。非歐幾里得幾何的空間概念具有更高的抽象性，它與歐幾里得空間統(tǒng)一成常曲率空間，而常曲率空間又是黎曼空間的特殊形式。19世紀中葉，G.F.B.黎曼還引進流形概念。這些概念不僅對物理空間的認識起了很大作用，而且也大大豐富了數(shù)學中的空間概念。

19世紀末20世紀初,人們給出了維數(shù)的拓撲定義,并對函數(shù)空間的度量性質(zhì)進行深入研究，從而產(chǎn)生了一系列重要的數(shù)學空間概念，特別是一般的拓撲空間概念。20世紀30年代后，數(shù)學中的各種空間在數(shù)學結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上得到統(tǒng)一處理，人們對各種數(shù)學空間獲得較完善的認識，并隨著對物理空間認識的深入以及數(shù)學研究的發(fā)展，從代數(shù)、幾何、拓撲方面推廣各種數(shù)學上的空間觀念。在代數(shù)方面對空間概念的推廣主要來源于解析幾何的產(chǎn)生和發(fā)展。幾何對象（點、線等）與數(shù)組結(jié)成對應關(guān)系，使人們可以對空間進行精確的定量描述。這樣便容易把坐標三數(shù)組推廣到坐標 n數(shù)組（向量），其所對應的空間即為 n維線性空間或向量空間。這種空間從維數(shù)上對歐幾里得空間做了推廣，但抽去了歐幾里得空間中的距離概念。實數(shù)域上的線性空間通?？梢酝茝V到一般域上，特別是有限域上的線性空間成了只有有限多個點的空間，其空間的連續(xù)性也被舍棄了。從代數(shù)和幾何方面，可以把空間推廣成仿射空間和射影空間。射影空間可通過幾何方法或坐標方法把無窮遠點和無窮遠線包括在內(nèi)。另外，也可以通過數(shù)組、相空間、狀態(tài)空間等等使各種空間成為物理學乃至其他科學處理運動的直觀模型。

空間的更抽象形式是拓撲空間。由于拓撲結(jié)構(gòu)反映點與點之間的親疏遠近關(guān)系，因而在拓撲空間中歐幾里得空間的距離和向量空間的向量長度這些概念都被舍棄了。

人們對各種數(shù)學空間的研究，反映了人們從局部、粗淺的直觀到更深刻地認識空間的各種屬性的過程。例如，拓撲學的發(fā)展，使人們對空間的維數(shù)、連續(xù)性、開閉性、空間的有邊和無邊以及空間的定向都有了更深入、更本質(zhì)的理解。流形的研究對于空間的有限與無限、局部與整體的認識也產(chǎn)生了飛躍。流形概念是空間概念的重要發(fā)展。它從局部上看是歐幾里得空間，但從整體上看可以有各種形式。它可開可閉，可有邊可無邊。這種深刻的認識對于物理空間的研究有著推動作用。例如，閔可夫斯基空間是狹義相對論的數(shù)學模型，黎曼空間則成為廣義相對論的數(shù)學模型（見相對論）。

數(shù)學上的空間

數(shù)學上，空間是指一種具有特殊性質(zhì)及一些額外結(jié)構(gòu)的集合，但不存在單稱為“空間”的數(shù)學對象。在初等數(shù)學或中學數(shù)學中，空間通常指三維空間。數(shù)學中常見的空間類型：

仿射空間

拓撲空間

一致空間

豪斯道夫空間

巴拿赫空間

向量空間（或稱線性空間）

賦范向量空間（或稱線性賦范空間）

內(nèi)積空間

度量空間

完備度量空間

歐幾里得空間

希爾伯特空間

射影空間

函數(shù)空間

樣本空間

概率空間

物理學中所說的時間與空間

蔡宗儒

引言

我們生活在這浩瀚的宇宙，很自然的就有時間與空間這兩個概念。我們看到山河大地宇宙萬物，若沒有空間，那么山河大地宇宙萬物要如何安置呢？我們看到山河大地宇宙萬物，若沒有空間，那麼山河大地宇宙萬物要如何安置呢？萬物的變遷，事件的成、住、壞，有了過去、現(xiàn)在、未來之別。萬物的變遷，事件的成、住、壞，有了過去、現(xiàn)在、未來之別。所以時間與空間是用來安置或排序一切的萬事萬物。所以時間與空間是用來安置或排序一切的萬事萬物。在我們?nèi)粘Ｉ钪校瑫r間與空間的重要性是無法言喻的。在我們?nèi)粘Ｉ钪?，時間與空間的重要性是無法言喻的。不僅如此，當我們透過科學嘗試去描述、認識與了解大自然，時間與空間更是重要。不僅如此，當我們透過科學嘗試去描述、認識與了解大自然，時間與空間更是重要。在物理學中，沒有一個物理的方程式是不需要時間與空間的。在物理學中，沒有一個物理的方程式是不需要時間與空間的。因此本文將以物理學中所說的時間與空間來做一個簡單的介紹，內(nèi)容包括牛頓的時間與空間，相對論的時間與空間。因此本文將以物理學中所說的時間與空間來做一個簡單的介紹，內(nèi)容包括牛頓的時間與空間，相對論的時間與空間。

牛頓的時間與空間

牛頓認為空間是絕對的(absolute) ，時間也是絕對的，時間與空間是各自獨立的存在著。在牛頓的「自然哲學的數(shù)學原理」一書中，他給絕對的空間下定義:Absolute space, in its own nature, without relation to anything external, remains always similar and immovable . 「絕對的空間，本質(zhì)是與外物無關(guān)的，是永久保持同樣且靜止的。」也就是說牛頓認為，絕對空間與物質(zhì)的存在否以及存在物質(zhì)的種種特性是無關(guān)的，是三維度的空間，遵循著歐氏幾何的架構(gòu) 。在物理學描述空間的物理量有長度、面積、體積等等。因為空間是絕對的，所以在相對地面靜止不動的觀察者測量空間中 A 、 B 兩點間的距離和相對地面在運動中(譬如在火車上，或是汽車上等 ) 的觀察者測量相同 A 、 B 兩點間的距離是一樣的。換言之，若有一根棒子靜置在地面上，相對地面靜止不動的觀察者去測量這根棒子的長度一定與在運動中的觀察者所測量同一棒子的長度是一樣的。

牛頓也給絕對時間下定義: Absolute, true, and mathematical time, of itself, and from its own nature, flows equably without relation to anything external. 「絕對，真實和數(shù)學的時間，本質(zhì)是穩(wěn)定的流動與外物無關(guān)的。」如果時間是絕對的，相對地面靜止不動的觀察者去測量事件 A 和事件 B 的時距和相對地面運動中的觀察者所測量這兩事件的時距是一樣的。換言之，若相對地面靜止不動的觀察者測量事件 A 、 B 是同時發(fā)生的，那么相對地面在運動中的觀察者去測量事件 A 、 B 必然也是同時發(fā)生的。

牛頓認為的時間與空間，具備「不受任何影響」的特質(zhì)，所以是絕對的。因為是絕對的，所以具有共通和一致性，也就是說宇宙只有一個時間和一個空間，而且時間與空間彼此是完全無關(guān)的。時間與空間與萬物無關(guān) ，而萬物存在時空中。

相對論的時間與空間

愛因斯坦在西元1905年提出狹義相對論，徹底的顛覆了牛頓的絕對的時間與空間的觀念。狹義相對論的基本假設(shè)之ㄧ是認定光在真空中走的速度大小是不變的。也就是說相對地面靜止不動的觀察者測量到的光速和相對地面在運動中的觀察者測量到的光速是一樣的。當時物理學家對光速不變的實驗結(jié)果是非常迷惑的，因為這個結(jié)果是違反牛頓的絕對時間與絕對空間。愛因斯坦接受光速不變的實驗結(jié)果，并把光速不變當成是一個根本假設(shè) 。在此假設(shè)下他建立了狹義相對論。狹義相對論告訴我們，所謂的兩事件 A 、 B 是「同時」發(fā)生的同時，是相對的而不是如牛頓所說的絕對的。也就是說相對地面靜止不動的觀察者測量兩事件 A 、 B 是同時發(fā)生的，相對地面運動中的觀察者去測量相同兩事件 A 、 B 不會是同時發(fā)生的。狹義相對論告訴我們，若有兩個全同的(identical)時鐘，其中一個相對于我們是靜止的，另一個相對我們是在運動的，那運動中的時鐘會走的比靜止的時鐘慢。換言之，運動中的時鐘走的一秒比靜止時鐘走的一秒要來的長。換言之，在空中飛行的飛機上的人的一秒和地面上行走的人的一秒是不一樣的；即使在同一架飛機上，坐著的人的一秒和走動的人的一秒也不一樣。狹義相對論稱這個叫時間膨脹( time dilation ) 。至此時間不再是絕對的而是相對的。在空間方面，狹義相對論導出運動中的尺長度會收縮( length contraction ) 。什么是運動中的尺長度收縮呢？若有一根尺靜置在地面上，相對地面靜止不動的觀察者去測量這根尺的長度為 L 0 ，另一個沿著尺所指的方向運動的觀察者測量同一尺的長度為 L ，則 L 會小于 L 0 。也就是說在運動中的尺的長度會比同一尺靜止時的長度來得短。空間中不同兩點間的距離，在不同座標系統(tǒng)的觀察者所測到的距離是不同的，所以空間不是絕對的而是相對的。狹義相對論終結(jié)了牛頓的絕對時間與絕對空間。狹義相對論對時間與空間的第二個沖擊是，空間與時間透過光速不變而結(jié)合起來，時間與空間不能也不是彼此無關(guān)的。

愛因斯坦的狹義相對論之所以稱為狹義，是狹義相對論所研究物質(zhì)運動的范疇不涉及萬有引力，不考慮加速度的情況。然而在大自然中，任何物質(zhì)必然受到萬有引力的作用。愛因斯坦在西元1916年提出廣義相對論，廣義相對論研究萬有引力、時間-空間與物質(zhì)的運動。廣義相對論認為，時間-空間不是平坦的，時間-空間會因為存在時空中的質(zhì)量和能量的分布而被彎曲。萬有引力只不過是時間-空間不是平坦的所造成的結(jié)果。廣義相對論的時空是彎曲的，彎曲的程度是取決于萬有引力的大小。也就是說只要有萬有引力，四維時空就是彎曲的，萬有引力越強的地方，時空彎曲的越嚴重，且這彎曲的空間并不遵守歐氏幾何的架構(gòu) 。廣義相對論也告訴我們，萬有引力越強的地方時鐘走的越慢。而萬有引力是和物質(zhì)的質(zhì)量相關(guān)的。所以在廣義相對論，四維時空和物質(zhì)是息息相關(guān)的。在廣義相對論發(fā)表以前，時空被認為是一個舞臺，種種事件在其中發(fā)生，而這些事件并不會影響到時空。在廣義相對論，時空必須和物質(zhì)連結(jié)起來，物質(zhì)的運動會影響著時空；反過來說時空也影響著物質(zhì)的運動。

除了相對論，二十世紀物理學的另一個偉大的發(fā)展是量子力學。量子力學告訴我們基本粒子(如電子、夸克等)具有粒子波動二元性。我們沒有辦法同時淮確的得到微小粒子的位置和速度，這稱之測不淮原理。那么在微小粒子的世界，相對論和量子力學要怎么整合在一起呢？為了解決這問題，物理學家正在發(fā)展量子引力理論。

物理學家想要發(fā)展一種能描述整個宇宙的理論。物理學家所采取的方式是將整個宇宙的問題分成許多小部份(界定研究范疇) ，并且在這些研究范疇內(nèi)發(fā)明理論。每一理論描述和預測都有其范圍限制。這好像是瞎子摸象般，要把部分所得的理論重組起來。更甚的是假如宇宙中的每一事件彼此都是相關(guān) ，不可分割的，那么物理學家所采取的方法可能是錯誤的。讓我們回到物理學的時間與空間。我們要注意的是物理學所使用的物理量(例如長度、質(zhì)量、時間等等)都是操作型定義，也就是說要經(jīng)由種種條件(操作)后才定義出這些量。若問物理學家時空的本質(zhì)是什么？物理學家更有興趣的問題是光速為何是不變的呢？物理學家以時間與空間是用來安置或排序一切的萬事萬物。時間與空間都是相對的，沒有一個絕對的時間也沒有一個絕對的空間。時間與空間彼此不是獨立的，而是相關(guān)的，所以就稱為時空。時空是相對的不是絕對的，就表示時空有無限多，每個物體都有其各自的時空。此外時空與物質(zhì)是緊密相關(guān)的，離開物質(zhì)而談時空是沒有意義的。

從零維空間到四維空間

——淺談幾何中的純概念研究

（馬利進隴東學院數(shù)學系甘肅慶陽 745000）

【摘要】

幾何不一定是真實現(xiàn)象的描述，幾何空間和自然空間并不能完全等同看待，純概念的研究幾何的發(fā)展是數(shù)學界的一個里程碑。從零維空間到三維空間，尤其是從三維空間到四維空間的發(fā)展更是幾何學的的一次革命。

【關(guān)鍵詞】

零維；一維；二維；三維；四維；n維；幾何元素；點；直線；平面。

【正文】

n維空間概念，在18世紀隨著分析力學的發(fā)展而有所前進。在達朗貝爾.歐拉和拉格朗日的著作中無關(guān)緊要的出現(xiàn)第四維的概念，達朗貝爾在《百科全書》關(guān)于維數(shù)的條目中提議把時間想象為第四維。在19世紀高于三維的幾何學還是被拒絕的。麥比烏斯（karl august mobius 1790-1868）在其《重心的計算》中指出，在三維空間中兩個互為鏡像的圖形是不能重疊的，而在四維空間中卻能疊合起來。但后來他又說：這樣的四維空間難于想象，所以疊合是不可能的。這種情況的出現(xiàn)是由于人們把幾何空間與自然空間完全等同看待的結(jié)果。以至直到1860年，庫摩爾（ernst eduard kummer 1810-1893）還嘲弄四維幾何學。但是，隨著數(shù)學家逐漸引進一些沒有或很少有直接物理意義的概念，例如虛數(shù)，數(shù)學家們才學會了擺脫“數(shù)學是真實現(xiàn)象的描述”的觀念，逐漸走上純觀念的研究方式。虛數(shù)曾今是很令人費解的，因為它在自然界中沒有實在性。把虛數(shù)作為直線上的一個定向距離，把復數(shù)當作平面上的一個點或向量，這種解釋為后來的四元素，非歐幾里得幾何學，幾何學中的復元素，n維幾何學以及各種稀奇古怪的函數(shù)，超限數(shù)等的引進開了先河，擺脫直接為物理學服務這一觀念迎來了n維幾何學。

1844年格拉斯曼在四元數(shù)的啟發(fā)下，作了更大的推廣，發(fā)表《線性擴張》，1862年又將其修訂為《擴張論》。他第一次涉及一般的n維幾何的概念，他在1848年的一篇文章中說：

我的擴張的演算建立了空間理論的抽象基礎(chǔ)，即它脫離了一切空間的直觀，成為一個純粹的數(shù)學的科學，只是在對（物理）空間作特殊應用時才構(gòu)成幾何學。

然而擴張演算中的定理并不單單是把幾何結(jié)果翻譯成抽象的語言，它們有非常一般的重要性，因為普通幾何受（物理）空間的限制。格拉斯曼強調(diào)，幾何學可以物理應用發(fā)展純智力的研究。幾何學從此開始割斷了與物理學的聯(lián)系而獨自向前發(fā)展。

經(jīng)過眾多的學者的研究，遂于1850年以后，n維幾何學逐漸被數(shù)學界接受。

以上是n維幾何發(fā)展的曲折歷程，以下是n維幾何發(fā)展的一些具體過程。

首先，我們將點看作零維空間，直線看作一維空間，平面看作二維空間，并觀察以下公設(shè)：

屬于一條直線的兩個點確定這條直線。 1.1

屬于一條直線的兩個平面確定這一條直線。（比較這個公設(shè)和公設(shè)1.1）。 1.2

屬于同一個點的兩條直線也屬于同一個平面。（公設(shè)1.2的推論） 1.3

屬于同一個平面的兩條直線，也屬于同一個點。 1.4

可以推斷出：

1. 具有相同維數(shù)的兩個空間，在某些條件下，確定另一個高一維的空間。例如：兩個點（我們將它們看作兩個零維空間）確定一條直線（一維空間）。屬于同一個點（規(guī)定的條件）的兩條直線（兩個一維空間）也屬于同一個平面（二維空間）。

2. 具有相同維數(shù)的兩個空間，在某些條件下，也可以確定一個低一維的空間。例如：兩個平面（兩個二維空間）確定一條屬于它們的直線（一維空間）。屬于同一平面（限定的條件）的兩條直線（兩個一維空間）確定一個點（零維空間）。

3. 結(jié)論2沒有包括這一事實，即兩個平面可以確定一個高一維的空間。它只假定它們確定一條直線，這是比平面低一維的空間。這就留下了一個把我們的思想引申到高維空間的缺口。這個缺口的消除可在推論1.3“屬于同一個點的兩條直線也屬于同一個平面”中，用幾何元素直線、平面和三維空間依次的代替幾何元素點、直線和平面來達到。

下面的推論是替換的結(jié)果。屬于同一條直線的兩個平面也屬于同一個三維空間。

有了這個新的推論，我們就把與其他幾何元素直接對應的幾何元素——三維空間也包括了。

下一步是把對偶原理應用于這一推理，并從這些新引申的推論中得到一些固有的結(jié)論。在對偶原理將通過幾何元素——平面和空間的位置交換而被應用。這時我們得到下述推論：

屬于同一條直線的兩個三維空間也屬于同一個平面。 1.5

從推論1.5我們可以得到下述公設(shè)：

屬于一個平面的兩個共存的三維空間確定這一個平面。 1.6

在上述1.5和1.6的基礎(chǔ)上，可以提出下面的看法：

1. 四維空間的幾何條件是很明顯的，因為維數(shù)相同的兩個已知空間，只能共存于比它們高一維的空間里。例如：兩條不同的共存直線（一維）位于一個平面內(nèi)（二維）；兩個不同的共存平面(二維)（沿一直線共存）位于一個三維空間里；兩個不同的共存三維空間（沿一個平面共存）位于一個四維空間里。

2. 在幾何上被看作是不屬于同一直線而相交于一點的兩個平面，屬于不同的各別的三維空間。

四維空間的概念也可以通過解析幾何的手段來研究。在那里我們可以利用代數(shù)方程來表示幾何概念。為了利用這個手段進行觀察以導致對四維空間的理解，我們來研究三維空間體系中的三個幾何元素——點、直線和平面的方程。利用笛卡爾系統(tǒng)表示，我們可以寫出：

點的方程：ax + b = 0 （坐標系：直線上的一個點）。

直線的方程：ax + by + c = 0 （坐標系：平面上的兩條正交直線）。

平面的方程：ax + by + cz + d = 0 (坐標系：三維空間的三個互相垂直的平面)。

從上面的研究我們可以看出：

所表示的每一個幾何元素（或空間）的方程中的變量數(shù)目，等于這個空間的維數(shù)加1。

坐標系中的幾何元素與被表示的幾何空間的幾何元素的維數(shù)相同。

在這個坐標系中，幾何元素的數(shù)目等于被表示的空間的維數(shù)加1。在坐標系中，幾何元素的這個數(shù)目是最低要求。

用來表示幾何元素的坐標系，位于比它所含有的幾何元素高一維的空間里。

根據(jù)上述觀察，我們可以寫出三維空間的下述方程。應當注意：這個方程有四個變量（x、y、z、u）。

ax + by + cz + du + e = 0

現(xiàn)在我們可以斷定：

1. 這個坐標系的幾何元素有三維，即它們是三維空間。

2. 在這個坐標系中有四個三維空間。

3. 這個坐標系位于一個四維空間里。

我們對于四維空間乃至更高空間的研究，不是通過實驗總結(jié)的方式，在現(xiàn)實中我們很難發(fā)現(xiàn)并推導出它們的一般規(guī)律，對于這些問題，我們可以采取一種新的研究方式。即：純概念的研究。通過這種方式，我們可以容易的推導出這些很重要但在現(xiàn)實中不易想象的新內(nèi)容。

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