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最短路徑算法有哪些（最短路徑算法總結(jié)）

發(fā)布時間：2023-04-08 17:42:32 稿源：創(chuàng)意嶺閱讀： 147

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來大家介紹下關(guān)于最短路徑算法有哪些的問題，以下是小編對此問題的歸納整理，讓我們一起來看看吧。

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本文目錄:

1、權(quán)圖中求最短路徑都有哪些算法？
2、最短路徑 | 深入淺出Dijkstra算法（一）
3、矩陣乘法求最短路徑
4、最短路徑 - Dijkstra算法

最短路徑算法有哪些（最短路徑算法總結(jié)）

一、權(quán)圖中求最短路徑都有哪些算法？

帶權(quán)圖也分有向和無向兩種，基本的算法可以看看書咯。

帶權(quán)的無向圖的最短路徑又叫最小生成樹，Prim算法和Kruskal算法；

帶權(quán)的有向圖的最短路徑算法有迪杰斯特拉算法和佛洛依德算法；

二、最短路徑 | 深入淺出Dijkstra算法（一）

上次我們介紹了神奇的只有 五行的 Floyd-Warshall 最短路算法 ，它可以方便的求得 任意兩點(diǎn)的最短路徑， 這稱為 “多源最短路”。

這次來介紹 指定一個點(diǎn)（源點(diǎn)）到其余各個頂點(diǎn)的最短路徑， 也叫做 “單源最短路徑”。 例如求下圖中的 1 號頂點(diǎn)到 2、3、4、5、6 號頂點(diǎn)的最短路徑。

與 Floyd-Warshall 算法一樣，這里仍然 使用二維數(shù)組 e 來存儲頂點(diǎn)之間邊的關(guān)系， 初始值如下。

我們還需要用 一個一維數(shù)組 dis 來存儲 1 號頂點(diǎn)到其余各個頂點(diǎn)的初始路程， 我們可以稱 dis 數(shù)組為 “距離表”， 如下。

我們將此時 dis 數(shù)組中的值稱為 最短路的“估計(jì)值”。

既然是 求 1 號頂點(diǎn)到其余各個頂點(diǎn)的最短路程， 那就 先找一個離 1 號頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)。

通過數(shù)組 dis 可知當(dāng)前離 1 號頂點(diǎn)最近是 2 號頂點(diǎn)。 當(dāng)選擇了 2 號頂點(diǎn)后，dis[2]的值就已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”， 即 1 號頂點(diǎn)到 2 號頂點(diǎn)的最短路程就是當(dāng)前 dis[2]值。

為什么呢？你想啊，目前離 1 號頂點(diǎn)最近的是 2 號頂點(diǎn)，并且這個圖所有的邊都是正數(shù)，那么肯定不可能通過第三個頂點(diǎn)中轉(zhuǎn)，使得 1 號頂點(diǎn)到 2 號頂點(diǎn)的路程進(jìn)一步縮短了。因此 1 號頂點(diǎn)到其它頂點(diǎn)的路程肯定沒有 1 號到 2 號頂點(diǎn)短，對吧 O(∩_∩)O~

既然選了 2 號頂點(diǎn)，接下來再來看 2 號頂點(diǎn) 有哪些出邊呢。有 2->3 和 2->4 這兩條邊。

先討論 通過 2->3 這條邊能否讓 1 號頂點(diǎn)到 3 號頂點(diǎn)的路程變短。 也就是說現(xiàn)在來比較 dis[3] 和 dis[2]+e[2][3] 的大小。其中 dis[3]表示 1 號頂點(diǎn)到 3 號頂點(diǎn)的路程，dis[2]+e[2][3]中 dis[2]表示 1 號頂點(diǎn)到 2 號頂點(diǎn)的路程，e[2][3]表示 2->3 這條邊。所以 dis[2]+e[2][3]就表示從 1 號頂點(diǎn)先到 2 號頂點(diǎn)，再通過 2->3 這條邊，到達(dá) 3 號頂點(diǎn)的路程。

我們發(fā)現(xiàn) dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此 dis[3]要更新為 10。這個過程有個專業(yè)術(shù)語叫做 “松弛” 。即 1 號頂點(diǎn)到 3 號頂點(diǎn)的路程即 dis[3]，通過 2->3 這條邊 松弛成功。 這便是 Dijkstra 算法的主要思想：通過 “邊” 來松弛 1 號頂點(diǎn)到其余各個頂點(diǎn)的路程。

同理通過 2->4（e[2][4]），可以將 dis[4]的值從 ∞ 松弛為 4（dis[4]初始為 ∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此 dis[4]要更新為 4）。

剛才我們對 2 號頂點(diǎn)所有的出邊進(jìn)行了松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：

接下來，繼續(xù)在剩下的 3、4、5 和 6 號頂點(diǎn)中，選出離 1 號頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)。通過上面更新過 dis 數(shù)組，當(dāng)前離 1 號頂點(diǎn)最近是 4 號頂點(diǎn)。此時，dis[4]的值已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”。下面繼續(xù)對 4 號頂點(diǎn)的所有出邊（4->3，4->5 和 4->6）用剛才的方法進(jìn)行松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：

繼續(xù)在剩下的 3、5 和 6 號頂點(diǎn)中，選出離 1 號頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)，這次選擇 3 號頂點(diǎn)。此時，dis[3]的值已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”。對 3 號頂點(diǎn)的所有出邊（3->5）進(jìn)行松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：

繼續(xù)在剩下的 5 和 6 號頂點(diǎn)中，選出離 1 號頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)，這次選擇 5 號頂點(diǎn)。此時，dis[5]的值已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”。對5號頂點(diǎn)的所有出邊（5->4）進(jìn)行松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：

最后對 6 號頂點(diǎn)的所有出邊進(jìn)行松弛。因?yàn)檫@個例子中 6 號頂點(diǎn)沒有出邊，因此不用處理。 到此，dis 數(shù)組中所有的值都已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”。

最終 dis 數(shù)組如下，這便是 1 號頂點(diǎn)到其余各個頂點(diǎn)的最短路徑。

OK，現(xiàn)在來總結(jié)一下剛才的算法。 Dijkstra算法的基本思想是：每次找到離源點(diǎn)（上面例子的源點(diǎn)就是 1 號頂點(diǎn)）最近的一個頂點(diǎn)，然后以該頂點(diǎn)為中心進(jìn)行擴(kuò)展，最終得到源點(diǎn)到其余所有點(diǎn)的最短路徑。

基本步驟如下：

在博客中看到兩個比較有趣的問題，也是在學(xué)習(xí)Dijkstra時，可能會有疑問的問題。

當(dāng)我們看到上面這個圖的時候，憑借多年對平面幾何的學(xué)習(xí)，會發(fā)現(xiàn)在“三角形ABC”中，滿足不了 構(gòu)成三角形的條件(任意兩邊之和大于第三邊)。 納尼，那為什么圖中能那樣子畫？

還是“三角形ABC”，以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，如果按照平面幾何的知識， “兩點(diǎn)之間線段最短”， 那么，A到B的最短距離就應(yīng)該是6(線段AB)，但是，實(shí)際上A到B的最短距離卻是3+2=5。這又怎么解釋？

其實(shí)，之所以會有上面的疑問，是因?yàn)?strong> 對邊的權(quán)值和邊的長度這兩個概念的混淆，。之所以這樣畫，也只是為了方便理解（每個人寫草稿的方式不同，你完全可以用別的方式表示，只要便于你理解即可）。

PS：數(shù)組實(shí)現(xiàn)鄰接表可能較難理解，可以看一下這里

參考資料：

Dijkstra算法是一種基于貪心策略的算法。每次新擴(kuò)展一個路程最短的點(diǎn)，更新與其相鄰的點(diǎn)的路程。當(dāng)所有邊權(quán)都為正時，由于不會存在一個路程更短的沒擴(kuò)展過的點(diǎn)，所以這個點(diǎn)的路程永遠(yuǎn)不會再被改變，因而保證了算法的正確性。

根據(jù)這個原理， 用Dijkstra算法求最短路徑的圖不能有負(fù)權(quán)邊， 因?yàn)閿U(kuò)展到負(fù)權(quán)邊的時候會產(chǎn)生更短的路徑，有可能破壞了已經(jīng)更新的點(diǎn)路徑不會發(fā)生改變的性質(zhì)。

那么，有沒有可以求帶負(fù)權(quán)邊的指定頂點(diǎn)到其余各個頂點(diǎn)的最短路徑算法（即“單源最短路徑”問題）呢？答案是有的， Bellman-Ford算法 就是一種。（我們已經(jīng)知道了 Floyd-Warshall 可以解決“多源最短路”問題，也要求圖的邊權(quán)均為正）

通過 鄰接矩陣 的Dijkstra時間復(fù)雜度是。其中每次找到離 1 號頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)的時間復(fù)雜度是 O(N)，這里我們可以用 優(yōu)先隊(duì)列（堆） 來優(yōu)化，使得這一部分的時間復(fù)雜度降低到。這個我們將在后面討論。

三、矩陣乘法求最短路徑

們把求A →E 的最短路分解為四個階段A →B →C→D →E 來求解.每一個階段可以用一個矩陣來表示,這個矩陣稱為權(quán)矩陣.相鄰階段的路徑可以用權(quán)矩陣的乘積來表示.但這里的矩陣乘法和普通矩陣乘積運(yùn)算的區(qū)別是:普通矩陣乘積其對應(yīng)元素是相應(yīng)元素乘積的代數(shù)和,這里把元素相乘改為相加,元素的代數(shù)和改為取小運(yùn)算,如果不同層節(jié)點(diǎn)間沒有連接,則視它們之間的距離為無窮大. 如果是求極大,改為取大運(yùn)算,此時如果不同層節(jié)點(diǎn)間沒有連接,則視它們的距離為0.

如下：

由A地到B地的距離可表示為：A[2 5 8]

由B地到C地的權(quán)矩陣可表示為

[3,6,5；7,10,8；4,9,6]

因此由A到C的權(quán)矩陣為[2,5,8][3,6,5；7,10,8；4,9,6]＝[5,8,7]

因此由A到D的權(quán)矩陣為[5,8,7)][7,5；3,4；5,2]＝[11 ,9]

由A→E的權(quán)矩陣為：[11 ,9][4,2)]=[15,11]

因此從家里到學(xué)校的最短距離為11百米,最近的路徑為從A地出發(fā)經(jīng)過B1地C1地D2地到達(dá)E地.

下面我們給出基于“矩陣乘法”求解最短路的算法:

第一階段:計(jì)算出圖中從起始點(diǎn)到終點(diǎn)最短路的長度.

step1 　劃分出該網(wǎng)絡(luò)圖中的層次關(guān)系(網(wǎng)絡(luò)劃分為N 層,起點(diǎn)為第一層,終點(diǎn)為第N 層) ;

step2 　依次給出從第i 層到第i + 1 層的權(quán)矩陣( i= 1 ,2 , …, N21) ; (若第i 層有m 個頂點(diǎn);第i + 1 層有n

個頂點(diǎn), 則從第i 層到第i + 1 層的權(quán)矩陣為m *n

階) .

step3 　按照我們定義的矩陣乘法計(jì)算出最短路的

數(shù)值.

第二階段:尋找最短路所經(jīng)過的中間點(diǎn).

(利用第一階段中step2 的數(shù)據(jù)) 計(jì)算出從第i 層到

終點(diǎn)的最短路, 對比與i21 層到終點(diǎn)的最短路, 從而確

定出第i 層上最短路所經(jīng)過的頂點(diǎn)( i = 2 , …, N21) .

四、最短路徑 - Dijkstra算法

算法每次都查找距離起始點(diǎn)最近的點(diǎn)，那么剩下的點(diǎn)距離起始點(diǎn)的距離一定比當(dāng)前點(diǎn)大。

1.選定A節(jié)點(diǎn)并初始化，如上述步驟3所示

2.執(zhí)行上述 4、5兩步驟，找出U集合中路徑最短的節(jié)點(diǎn)D 加入S集合，并根據(jù)條件 if ( 'D 到 B,C,E 的距離' + 'AD 距離' < 'A 到 B,C,E 的距離' ) 來更新U集合

3.這時候 A->B, A->C 都為3，沒關(guān)系。其實(shí)這時候他倆都是最短距離，如果從算法邏輯來講的話，會先取到B點(diǎn)。而這個時候 if 條件變成了 if ( 'B 到 C,E 的距離' + 'AB 距離' < 'A 到 C,E 的距離' ) ，如圖所示這時候A->B距離其實(shí)為 A->D->B

思路就是這樣，往后就是大同小異了

算法結(jié)束

（圖片來源于網(wǎng)絡(luò)）

Dijkstra算法保證能找到一條從初始點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的最短路徑，只要所有的邊都有一個非負(fù)的代價值。在上圖中，粉紅色的結(jié)點(diǎn)是初始結(jié)點(diǎn)，藍(lán)色的是目標(biāo)點(diǎn)，而類菱形的有色區(qū)域則是Dijkstra算法掃描過的區(qū)域。顏色最淡的區(qū)域是那些離初始點(diǎn)最遠(yuǎn)的，因而形成探測過程（exploration）的邊境（frontier）。因而Dijkstra算法可以找到一條最短的路徑，但是效率上并不高。

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)--Dijkstra算法最清楚的講解

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